વર્ગ,વર્ગ મૂળ,ઘન,ઘન મૂળ...

વર્ગ કરવા માટેની ટુકી રીત 

(1)છેલ્લે  0  હોય તેવી સંખ્યાનો વર્ગ કરવા માટે

શૂન્ય સિવાયની સંખ્યાનો વર્ગ કરી જેટલા શૂન્ય હોય તેના ડબલ કરી પાછળ લગાડવા.

જેમ કે (50)²  માટે શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા ૫ છે તેનો વર્ગ કરી પાછળ એક 0 હોવાથી તેના ડબલ બે કરીને મુકવા  5 × 5 = 25 અને પાછળ બે 0 મુકવાથી જવાબ મળી જશે.

(50)² = 2500

તેવી જ રીતે (80)² = 8×8=64 અને પાછળ બે શૂન્ય  (80)²= 6400
(120)²= 12×12 અને પાછળ બે શૂન્ય
           =  14400

(2) એકમનો અંક 5 આવતો હોય તેવી સંખ્યાનો વર્ગ કરવો

35નો વર્ગ કરવા માટે

• સૌ પ્રથમ 5 નો વર્ગ કરવો
• ત્યાર બાદ તેની આગળ રહેલી સંખ્યાને તેની પછીના ક્રમની સંખ્યા વડે ગુણવી

અહી 5 પહેલાની સંખ્યા 3 છે અને 3 પછીના ક્રમમાં આવતી સંખ્યા 4 થાય એટલે 3 અને 4 નો ગુણાકાર કરી પાછળ 25 લગાડવા.

(35)² = 3×4=12 અને  5× 5=25

           = 1225

(75)² = 7× 8=56  અને 5× 5=25

          =5625

(125)² = 12 ×13 =156  અને 5×5 =25

          = 15625

(3) બધા અંક 1 આવતા હોય તેવી સંખ્યા

• જેટલા 1 હોય તેટલી સંખ્યા ચડતા ક્રમમાં લખી ફરી ત્યાંથી જ ઉતરતા ક્રમમાં લખવી

જેમ કે 111 વર્ગ કરવા  માટે

અહી ત્રણ 1 હોવાથી 3 સુધીની સંખ્યા ચડતા ક્રમમાં લખી ત્યાંથી જ ઉતરતા ક્રમમાં લખવી

એટલે કે (111)² = 12321

(11111)²=123454321

(4) બધા 9 આવતા હોય તેવી સંખ્યાનો વર્ગ કરવા માટે

• સૌં પ્રથમ એકમના 9ની જગ્યાએ 8 લખવા.ત્યારબાદ 8ની આગળ જેટલા 9 હોય તેટલા શૂન્ય  8ની પાછળ લખી છેલ્લે 1 લખવો .

જેમ કે 99ના વર્ગ માટે 

1. એકમના 9ની જગ્યાએ 8 મુકવો    98
2. 8ની આગળ એક 9 હોવાથી પાછળ એક શૂન્ય મુકવો.   980
3. છેલ્લે એક મુકવાનો  9801

(99)²=9801

તેવી જ રીતે (9999)² = 9998

                                = 9998000

                                = 99980001 

(5) દશાંશ ચિન્હવાળી સંખ્યાનો વર્ગ કરવો

• સૌપ્રથમ દશાંશ ચિન્હ કાઢી આપેલી સંખ્યાનો વર્ગ કરવો.
• ત્યારબાદ આપેલી સંખ્યામાં દશાંશ ચિન્હ પછી જેટલા અંક આપેલા હોય તેના ડબલ અંકની પહેલા દશાંશ ચિન્હ મુકવું.

(4.2)² = (42)² = 1764
અહી દશાંશ ચિન્હ પછી એક સંખ્યા છે એટલે જવાબમાં દશાંશ ચિન્હ પછી બે સંખ્યા આવે.

(4.2)²= 17.64

વર્ગમૂળ શોધવા માટે

• કોઈ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ ત્યારે જ નીકળી શકે જયારે તે સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય.
• જો આપેલી સંખ્યા કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ હોય તો તે સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા કહેવાય.
• જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2,3,7, કે 8 હોય તેવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોય કારણ કે ૧ થઈ ૧૦ સુધીની સંખ્યાના વર્ગ માં એકમનો અંક 2,3,7 કે 8 આવતો નથી.
• જે સંખ્યાના એકમના સ્થાનમાં શૂન્ય હોય પરંતુ દશકના સ્થાનમાં શૂન્ય ન હોય તેવી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ ન હોય.એટલે કે 100 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે જયારે 110 એ પૂર્ણવર્ગ નથી.

યાદ રાખવું કે વર્ગમૂળના નિયમો વર્ગ ના નિયમો કરતા વિરુદ્ધ હોય છે.

(1) છેલ્લે ૨૫ આવતા હોય તેવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કાઢવા 

• 25ની આગળ જે સંખ્યા હોય તે કઈ બે ક્રમિક સંખ્યાનો ગુણાકાર છે તે શોધવું.

2025 માં  20 એ 5 અને 4 નો ગુણાકાર છે તેમજ 10 અને 2 નો પણ ગુણાકાર છે પરંતુ 10 અને 2 ક્રમિક સંખ્યા નથી.

• ત્યારબાદ ક્રમિક સંખ્યામાં જે નાની હોય તે લખી પાછળ 5 લખવા.અહી 5 અને 4 માં 4 નાના હોવાથી ૨૦૨૫નુ વર્ગમૂળ 45 થાય.

તેવીજ રીતે √5625= 7×8 =56  

                            = 75

(૨) 1 થી શરુ કરી ચડતા ક્રમમાં ત્યારબાદ ઉતરતા ક્રમમાં 1 સુધીની સંખ્યા આપેલી હોય તેવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવા

• આપેલી સંખ્યામાં ચડતા ક્રમમાં જેટલી સંખ્યા હોય તેટલા 1 તેનું વર્ગમૂળ થશે.

જેમ કે √123454321 માં ચડતા ક્રમમાં 5 સુધીની સંખ્યા છે તેથી તેનું વર્ગમૂળ 11111 થશે.

(3)જે સંખ્યામાં શરૂઆત ના અંક 9 હોય અને ત્યારબાદ 8 હોય અને 8ની આગળ જેટલા 9 હોય તેટલા જ શૂન્ય 8 ની પાછળ હોય અને 8 પછી 1 લખેલ હોય તેવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવા માટે 

• આપેલી સંખ્યામાં જેટલા 9 હોય તેના કરતા એક 9 વધારે મુકવો જેમ કે √ 998001= 999 

(4) છેલ્લે બે સંખ્યામાં શૂન્ય આવતા હોય તેવી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવા માટે

• શૂન્ય સિવાયની સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધી આપેલી સંખ્યામાં જેટલા શૂન્ય હોય તેના અડધા શૂન્ય મુકવા.

√6400= 80

√8100= 90 

(5) દશાંશ ચિન્હવાળી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવા માટે

• પહેલા દશાંશ ચિન્હ કાઢી આપેલી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ કાઢવું ત્યારબાદ આપેલી સંખ્યામાં જેટલા અંક દશાંશ ચિન્હ પછી હોય તેના અડધા અંક દશાંશ ચિન્હ પછી આવે તે રીતે દશાંશ ચિન્હ મુકવું.જેમ કે 

√0.0016=0.04 અહી મૂળ સંખ્યામાં દશાંશ ચિન્હ પછી 4 અંક આપેલા છે તેથી જવાબમાં દશાંશ ચિન્હ પછી 2 અંક જ આવે.

(6) કોઈ પણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ શોધવા માટેનો સામાન્ય નિયમ 

આપણે અહી ઉ.દા દ્વારા જ સમજશું

1936નુ વર્ગમૂળ શોધવા માટે

• સૌં પ્રથમ એ જોવું કે આપેલી સંખ્યા ક્યાં બે દશાંક ના ગુણાંકની સંખ્યાની વચ્ચે આવે છે. 

અહી ૧૯૩૬ એ (40)² =1600 અને (50)²=2500 ની વચ્ચે આવે છે.

• ત્યારબાદ એ જોવું કે આપેલી સંખ્યા 40 અને 50 ની વચ્ચેની સંખ્યાના વર્ગ કરતા મોટી છે કે નાની 

અહી ૧૯૩૬ (45)² = 2025 થઈ નાની છે.એટલે આપેલી સંખ્યાનું વર્ગમૂળ 40 થી 45 ની વચ્ચે આવતું હશે.

• ત્યારબાદ અહી 1936નો એકમનો અંક 6 છે જયારે 4 ના વર્ગના એકમનો અંક પણ 4 જ આવે એટલે 1936 નું વર્ગમૂળ 44 થાય.

ઘનમૂળ કાઢવાની રીત 

કોઈપણ મોટી સંખ્યાનું ઘનમૂળ કાઢવા માટે 1 થઈ 11 સુધીના ધન યાદ રાખવા જરૂરી છે.

(1) 1331 પછીની કોઈ પણ સંખ્યાનું ઘનમૂળ કાઢવા માટેની રીત:-

39304નુ ધનમૂળ કાઢવા માટે

• આપેલી સંખ્યાનો એકમનો અંક અહી 4 એ ૧ થી ૧૦ માંથી જે સંખ્યાના એકમનો અંક હોય તે સંખ્યા ઘનમુળના એકમના અંકમાં લખવી.

અહી 4 એ (6)³ના એકમ નો અંક છે તેથી ઘનમૂળમાં એકમનો અંક 6 થાય.

• ત્યારબાદ છેલ્લા ત્રણ અંક (304) સિવાયની સંખ્યા (39) એ 1 થી 10માં કઈ સંખ્યાના ઘન પછી આવતી સંખ્યા છે.

અહી 39 એ (3)³ = 27 પછી આવતી સંખ્યા છે.તેથી આપેલી સંખ્યાનું ધનમુળ 34 થશે.

405224નુ ઘનમૂળ કાઢવા માટે
              = 4 એ 6ના ઘન નો એકમનો અંક છે
              = છેલ્લા ત્રણ અંક સિવાયની સંખ્યા 405 એ (7)³ = ૩૪૩ પછી આવતી સંખ્યા છે
              =74 એ આપેલી સંખ્યાનું ઘનમૂળ છે.

(1)² =   1                                                                    (1)³  =  1                       
(2)² =   4                                                                    (2)³  =  8
(3)² =   9                                                                    (3)³  =  27
(4)² =   16                                                                  (4)³  =  64
(5)² =   25                                                                  (5)³  =  125
(6)² =   36                                                                  (6)³  =  216
(7)² =   49                                                                  (7)³  =  343
(8)² =   64                                                                  (8)³  =  512
(9)² =   81                                                                  (9)³  =  729
(10)² =  100                                                               (10)³ =  1000
(11)² =  121                                                               (11)³ =  1331
(12)² =  144
(13)² =  169
(14)² =  196
(15)² =  225
(16)² =  256
(17)² =  289
(18)² =  324
(19)² =  361
(20)² =  400
(21)² =  441
(22)² =  484
(23)² =  529
(24)² =  576
(25)² =  625
(26)² =  676
(27)² =  729
(28)² =  784
(29)² =  841
(30)² =  900